Pontryagin duality places in a unified context a number of observations about functions on the real line or on finite abelian groups: Suitably regular complex-valued periodic functions on the real line have Fourier series and these functions can be recovered from their Fourier series; Suitably regular complex-valued functions on the real line have Fourier transforms that are also functions on the real line and, just as for periodic functions, these functions can be recovered from their Fourier transforms; and Complex-valued functions on a finite abelian group have discrete Fourier transforms which are functions on the dual group, which is a (non-canonically) isomorphic group.
Het plaatst een aantal opmerkingen over de functies op de reële lijn of op eindige abelse groepen in een uniform kader: Geschikte reguliere complex-gewaardeerde periodieke functies op de reële lijn hebben fourierreeksen en deze periodieke functies kunnen terug worden uitgebouwd uit haar fourierreeksen; Geschikte reguliere complex-gewaardeerde functies op de reële lijn hebben fouriertransformaties die ook functies op de reële lijn zijn en, net als voor periodieke functies, kunnen deze functies terug worden uitgebouwd uit haar fouriertransformaties; en Complex-gewaardeerde functies op een eindige abelse groep hebben discrete fouriertransformaties, die functies zijn op de duale groep, wat een niet-kanonieke isomorfe groep is.WikiMatrix WikiMatrix