keuzeaxioma oor Engels

keuzeaxioma

Vertalings in die woordeboek Nederlands - Engels

axiom of choice

naamwoord

axiom of choice

Keuzeaxioma

Vertalings in die woordeboek Nederlands - Engels

axiom of choice

naamwoord

statement that the product of a collection of non-empty sets is non-empty

voorbeelde

In 1970 heeft Robert Solovay aangetoond dat het bestaan van een niet-meetbare verzameling voor een Lebesgue-maat niet bewijsbaar is in het raamwerk van de Zermelo-Frankel verzamelingentheorie in afwezigheid van het keuzeaxioma.
In 1970, Robert M. Solovay showed that the existence of sets that are not Lebesgue-measurable is not provable within the framework of Zermelo–Fraenkel set theory in the absence of the axiom of choice (see Solovay's model).

Deze axioma's zijn voldoende volwaarde voor vele bewijzen in de elementaire analyse, en zij zijn in overeenstemming met een aantal principes, zoals de Lebesgue-meetbaarheid van alle verzamelingen van reële getallen, principes die weerlegbaar zijn, wanneer men het keuzeaxioma gebruikt.
These axioms are sufficient for many proofs in elementary mathematical analysis, and are consistent with some principles, such as the Lebesgue measurability of all sets of reals, that are disprovable from the full axiom of choice.

Als het keuzeaxioma verondersteld wordt waar te zijn, zijn niet alle deelverzamelingen van de euclidische ruimte lebesgue-meetbaar; voorbeelden van dergelijke verzamelingen zijn de vitali-verzamelingen en de niet-meetbare verzamelingen die worden gepostuleerd door de hausdorff-paradox en de banach-tarskiparadox.
If the axiom of choice is assumed to be true, it can be proved that not all subsets of Euclidean space are Lebesgue measurable; examples of such sets include the Vitali set, and the non-measurable sets postulated by the Hausdorff paradox and the Banach–Tarski paradox.

Bij het ontbreken van het keuzeaxioma of ACω kan men van sommige verzamelingen echter aantonen dat zij nog steeds een keuzefunctie hebben.
However, in the absence of either AC or ACω, some sets can still be shown to have a choice function.

In 1922 bewees Fraenkel dat het keuzeaxioma niet kan worden bewezen op basis van de overgebleven axioma's van Zermelo's verzamelingenleer met de oerelementen.
Fraenkel (1922) proved that the axiom of choice cannot be proved from the axioms of Zermelo's set theory with urelements.

Niet elke situatie vereist het keuzeaxioma.
Not every situation requires the axiom of choice.

Hieronder staan de nodige stellingen, die het keuzeaxioma vereisen in de zin dat deze stellingen niet bewijsbaar zijn vanuit alleen ZF, maar wel bewijsbaar zijn vanuit ZFC (dat wil zeggen ZF plus het keuzeaxioma (AC)).
Here are some statements that require the axiom of choice in the sense that they are not provable from ZF but are provable from ZFC (ZF plus AC).

Beweringen, zoals de Banach-Tarskiparadox, kunnen worden geherformuleerd als voorwaardelijke stellingen, bijvoorbeeld: "Als het keuzeaxioma waar is, bestaat de decompositie in de Banach-Tarskiparadox."
Statements such as the Banach–Tarski paradox can be rephrased as conditional statements, for example, "If AC holds, then the decomposition in the Banach–Tarski paradox exists."

Er zijn verschillende zwakkere beweringen die niet gelijkwaardig zijn aan het keuzeaxioma, maar die er wel nauw aan verwant zijn.
There are several weaker statements that are not equivalent to the axiom of choice, but are closely related.

Gebruikmakend van het keuzeaxioma kan worden gesteld dat voldoen aan de afnemende ketenvoorwaarde op een partieel geordende verzameling equivalent is met voldoen aan de eigenschap dat de corresponderende strikte partiële orde welgefundeerd is.
Assuming the axiom of choice, the descending chain condition on a partially ordered set is equivalent to requiring that the corresponding strict order is well-founded.

Er zijn vele andere gelijkwaardige formuleringen van het keuzeaxioma.
There are many other equivalent statements of the axiom of choice.

Als het keuzeaxioma niet wordt geaccepteerd, moet men iets anders doen.
If the axiom of choice is not assumed we need to do something different.

De directe som van de Ri vormen bijvoorbeeld een ideaal, dat niet vervat is in enige dergelijke A, maar het keuzeaxioma geeft dat het is vervat in enige maximaalideaal, die a fortiori priem is.
For example, the direct sum of the Ri form an ideal not contained in any such A, but the axiom of choice gives that it is contained in some maximal ideal which is a fortiori prime.

In 1966 toonde de wiskundige Paul Cohen aan dat de toevoeging van oerelementen niet nodig is en het keuzeaxioma in de ZF-verzamelingenleer niet te bewijzen is.
Later work by Paul Cohen (1966) showed that the addition of urelements is not needed, and the axiom of choice is unprovable in ZF.

In de verzamelingenleer leverde hij bijdragen over het keuzeaxioma en de continuümhypothese.
In set theory he made contributions on the axiom of choice and on the continuum hypothesis.

Deze tweede definitie is ook zinvol zonder een beroep op het keuzeaxioma te hoeven doen.
This second definition makes sense without the axiom of choice.

In feite introduceerde Zermelo zijn keuzeaxioma in eerste instantie om zijn bewijs van het welgeordendheidsprincipe te formaliseren.
In fact, Zermelo initially introduced the axiom of choice in order to formalize his proof of the well-ordering theorem.

Een ander argument tegen het keuzeaxioma is dat het het bestaan van contra-intuïtieve objecten impliceert.
Another argument against the axiom of choice is that it implies the existence of objects that may seem counterintuitive.

Het keuzeaxioma produceert deze ondefinieerbare zaken (objecten waarvan men door gebruik te maken van een niet-constructief bewijs kan bewijzen dat zij bestaan, maar die niet expliciet geconstrueerd kunnen worden), wat in strijd kan zijn met sommige filosofische principes.
The axiom of choice proves the existence of these intangibles (objects that are proved to exist, but which cannot be explicitly constructed), which may conflict with some philosophical principles.

De beperking tot ZF maakt elke claim, die zich hetzij op het keuzeaxioma hetzij op de ontkenning daarvan baseert, onbewijsbaar.
The restriction to ZF renders any claim that relies on either the axiom of choice or its negation unprovable.

Deze zijn in die zin equivalent dat zij, in het bijzijn van andere fundamentele axioma's van de verzamelingenleer, het keuzeaxioma impliceren en dat omgekeerd het keuzeaxioma door hen geïmpliceerd wordt.
These are equivalent in the sense that, in the presence of other basic axioms of set theory, they imply the axiom of choice and are implied by it.

Uitgaande van het keuzeaxioma kan worden bewezen dat de Dedekind-begrippen overeenkomen met de standaardbegrippen.
Assuming the axiom of choice, it can be proved that the Dedekind notions correspond to the standard ones.

Onder de aanname van het keuzeaxioma, maakt elk kardinaalgetal deel uit van deze transfiniete opeenvolging.
Under the assumption of the axiom of choice, this transfinite sequence includes every cardinal number.

Een motivatie voor dit gebruik is dat een aantal belangrijke wiskundige resultaten, zoals de stelling van Tychonov, het keuzeaxioma voor hun bewijzen vereisen.
One motivation for this use is that a number of generally accepted mathematical results, such as Tychonoff's theorem, require the axiom of choice for their proofs.

Hedendaagse verzamelingentheoretici bestuderen ook axioma's die niet compatibel zijn met het keuzeaxioma, zoals het axioma van bepaaldheid.
Contemporary set theorists also study axioms that are not compatible with the axiom of choice, such as the axiom of determinacy.