Besonderhede van voorbeeld: -8593915919932758635

English

Both the statement of Hilbert's program and its refutation by Gödel depended upon their work establishing the second area of mathematical logic, the application of mathematics to logic in the form of proof theory.[29] Despite the negative nature of the incompleteness theorems, Gödel's completeness theorem, a result in model theory and another application of mathematics to logic, can be understood as showing how close logicism came to being true: every rigorously defined mathematical theory can be exactly captured by a first-order logical theory; Frege's proof calculus is enough to describe the whole of mathematics, though not equivalent to it. Thus we see how complementary the two areas of mathematical logic have been.[citation needed]

Finnish

Sekä Hilbertin ohjelma että Gödelin vastine siihen olivat riippuvaisia toisesta matemaattisen logiikan osa-alueesta, matematiikan soveltamisesta logiikkaan todistusteorian muodossa. Vaikka epätäydellisyysteoreema oli luonteeltaan negatiivinen, Gödelin täydellisyyslause oli malliteorian tulos ja osoittaa, kuinka lähellä logisismi oli osoittautua todeksi: jokainen täsmällisesti määritelty matemaattinen teoria esittää ensimmäisen kertaluvun logiikan teorialla; Fregen todistuskalkyyli pystyi kuvaamaan koko matematiikan, vaikka ei vastaakaan sitä. Näin matemaattisen logiikan kaksi osa-aluetta osoittautuvat toisiaan täydentäviksi.