axiomatic set theory oor Nederlands

axiomatic set theory

Vertalings in die woordeboek Engels - Nederlands

axiomatische verzamelingenleer

version of set theory in which axioms are taken as uninterpreted rather than as formalizations of pre-existing truths; defined using a formal logic

voorbeelde

In 1908, Ernst Zermelo proposed the first axiomatic set theory, Zermelo set theory.
In 1908 stelde Ernst Zermelo de eerste axiomatische verzamelingenleer voor, de Zermelo-verzamelingenleer.

Certain categories called topoi (singular topos) can even serve as an alternative to axiomatic set theory as a foundation of mathematics.
Bepaalde categorieën, genaamd topoi (enkelvoud topos), kunnen als basis dienen voor de wiskunde als een alternatief voor een axiomatische verzamelingenleer.

In mathematical logic, New Foundations (NF) is an axiomatic set theory, conceived by Willard Van Orman Quine as a simplification of the theory of types of Principia Mathematica.
In de wiskundige logica zijn de New Foundations of NF (Nederlands: nieuwe grondslagen) een axiomatische verzamelingenleer, die door Willard Van Orman Quine is opgesteld als een vereenvoudiging van de typentheorie uit de Principia Mathematica .

In axiomatic set theory and the branches of logic, mathematics, and computer science that use it, the axiom of pairing is one of the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory.
In de axiomatische verzamelingenleer en de deelgebieden van de logica, de wiskunde, en de informatica die daar gebruik van maken is het oneindigheidsaxioma een van de axioma's van de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer.

Ackermann went on to construct consistency proofs for set theory (1937), full arithmetic (1940), type-free logic (1952), and a new axiomatization of set theory (1956).
Tevens schreef hij consistentiebewijzen voor verzamelingenleer (1937), volledige rekenkunde (1940), type-vrije logica (1952) en een nieuwe axiomatisering van verzamelingenleer (1956).

The difficulty is handled in axiomatic set theory by declaring that this collection is not a set but a proper class; in von Neumann–Bernays–Gödel set theory it follows from this and the axiom of limitation of size that this proper class must be in bijection with the class of all sets.
Voorts volgt uit dit feit dat deze collectie niet een verzameling, maar een klasse is; in de Von Neumann-Bernays-Gödel-verzamelingenleer volgt hieruit en uit het axioma van begrenzing van grootte dat deze eigenlijke klasse een bijectie moet zijn met de klasse van alle verzamelingen.

In 1908, Zermelo succeeded in producing an improved proof making use of Dedekind's notion of the "chain" of a set, which became more widely accepted; this was mainly because that same year he also offered an axiomatization of set theory.
In 1908 slaagde Zermelo er in een verbeterd bewijs te geven dat gebruik maakte van Dedekinds notie van de "keten" van een verzameling, dat meer werd geaccepteerd; dat was vooral omdat hij in hetzelfde jaar ook een axiomatisering van de verzamelingenleer opstelde.

In work on Zermelo–Fraenkel set theory, the notion of class is informal, whereas other set theories, such as von Neumann–Bernays–Gödel set theory, axiomatize the notion of "proper class", e.g., as entities that are not members of another entity.
In werk over de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer, is het begrip klasse informeel, terwijl in ander theorieën, zoals de Von Neumann-Bernays-Gödel-verzamelingenleer het begrip "klasse" door axioma's wordt onderbouwd.

On the other hand, Von Neumann–Bernays–Gödel set theory (NBG) can be finitely axiomatized.
De Von Neumann-Bernays-Gödel-verzamelingenleer (NBG) is een axiomatisering van de verzamelingenleer.

In this sense, Euclidean geometry is more concrete than many modern axiomatic systems such as set theory, which often assert the existence of objects without saying how to construct them, or even assert the existence of objects that cannot be constructed within the theory.
In deze zin is de euclidische meetkunde concreter dan vele moderne axiomatische systemen zoals de verzamelingenleer, waar het bestaan van wiskundige objecten vaak wordt verzekerd, zonder uitleg hoe deze objecten kunnen worden geconstrueerd.

In the early 20th century, calculus was formalized using an axiomatic set theory.
In het begin van de 20e eeuw werd de analyse geformaliseerd met behulp van de verzamelingenleer.

The resulting 8 axiom system, now called Zermelo-Fraenkel axioms (ZF), is now the most commonly used system for axiomatic set theory.
Het resulterende, uit 10 axioma's bestaande systeem, dat nu bekendstaat als de Zermelo-Fraenkel axioma's (ZF), is nu het meest gebruikte systeem voor de axiomatische verzamelingenleer.

Put another way, it is paradoxical within the confines of naïve set theory and therefore demonstrates that a careless axiomatization of this theory is inconsistent.
Anders gezegd, het is paradoxaal binnen de grenzen van de naïeve verzamelingenleer, wat daardoor aantoont dat een onvoorzichtige axiomatisering van de naïeve verzamelingentheorie inconsistent is.

Zermelo began to axiomatize set theory in 1905; in 1908, he published his results despite his failure to prove the consistency of his axiomatic system.
Zermelo begon de verzamelingenleer in 1905 te axiomatiseren; in 1908 publiceerde hij zijn resultaten, ondanks zijn falen om de consistentie van het door hem opgestelde axiomatische systeem te bewijzen.

The resulting 8 axiom system, now called Zermelo-Fraenkel axioms (ZF), is now the most commonly used system for axiomatic set theory. An Amusing Anecdote[edit]
Het resulterende, uit 10 axioma's bestaande systeem, dat nu bekendstaat als de Zermelo-Fraenkel axioma's (ZF), is nu het meest gebruikte systeem voor de axiomatische verzamelingenleer.

He is best known for his work on axiomatic set theory, publishing his first major work on the topic Einleitung in die Mengenlehre (Introduction to set theory) in 1919.
Hij is echter vooral bekend geworden door zijn werk aan de axiomatische verzamelingenleer. In 1919 publiceerde Fraenkel zijn eerste grote werk over dit onderwerp ("Einleitung in die Mengenlehre").

Today, Zermelo–Fraenkel set theory, with the historically controversial axiom of choice (AC) included, is the standard form of axiomatic set theory and as such is the most common foundation of mathematics.
Vandaag de dag is de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer met keuzeaxioma (afgekort tot ZFC, waarbij de C voor het Engelse Choice staat) de standaardvorm van de axiomatische verzamelingenleer en als zodanig het meest gebruikelijke fundament van de wiskunde.

Though it may seem trivial, the empty set, like the number zero, is important in mathematics; indeed, the existence of this set is one of the fundamental concepts of axiomatic set theory.
Hoewel het misschien triviaal lijkt, is de lege verzameling, net zoals het getal nul, belangrijk in de wiskunde; het bestaan van de lege verzameling is zelfs een van de fundamentele concepten uit de axiomatische verzamelingenleer .

Cantor's definition turned out to be inadequate for formal mathematics; instead, the notion of a "set" is taken as an undefined primitive in axiomatic set theory, and its properties are defined by the Zermelo–Fraenkel axioms.
Zoals hieronder wordt besproken bleek de hierboven gegeven definitie ontoereikend te zijn voor de formele wiskunde, in plaats daarvan wordt de notie van een "verzameling" in de axiomatische verzamelingenleer als een ongedefinieerde primitieve genomen en worden haar eigenschappen gedefinieerd door de axioma's van Zermelo-Fraenkel.

axiom schema of replacement that is part of the standard ZFC axiomatization of set theory.
Het axiomaschema van vervanging dat deel uitmaakt van de standaard ZFC-axiomatisering van de verzamelingenleer.

In that article, he proved for any computable axiomatic system that is powerful enough to describe the arithmetic of the natural numbers (e.g., the Peano axioms or Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice), that: If a (logical or axiomatic formal) system is consistent, it cannot be complete.
In dat artikel bewees hij voor elk berekenbaar axiomatisch systeem, dat krachtig genoeg is om de rekenkunde van de natuurlijke getallen (dat wil zeggen de axioma's van Peano of ZFC) te bevatten, dat: Als het systeem consistent is, kan het niet volledig zijn.

As discussed below, the definition given above turned out to be inadequate for formal mathematics; instead, the notion of a "set" is taken as an undefined primitive in axiomatic set theory, and its properties are defined by the Zermelo–Fraenkel axioms.
Zoals hieronder wordt besproken bleek de hierboven gegeven definitie ontoereikend te zijn voor de formele wiskunde, in plaats daarvan wordt de notie van een "verzameling" in de axiomatische verzamelingenleer als een ongedefinieerde primitieve genomen en worden haar eigenschappen gedefinieerd door de axioma's van Zermelo-Fraenkel.

The subsequent development of category theory was powered first by the computational needs of homological algebra, and later by the axiomatic needs of algebraic geometry, the field most resistant to being grounded in either axiomatic set theory or the Russell-Whitehead view of united foundations.
De daaropvolgende ontwikkeling van de categorietheorie werd aanvankelijk ingegeven door de computationale behoeften van de homologische algebra, en later door de axiomatische behoeften van de algebraïsche meetkunde, een terrein dat zich het meest verzet had om te worden gefundeerd op een axiomatische verzamelingenleer of op de opvattingen van Russell en Whitehead over een gezamenlijke basis.

Today ZFC is the standard form of axiomatic set theory and as such is the most common foundation of mathematics. ZFC has a single primitive ontological notion, that of a hereditary, well-founded set, and a single ontological assumption, namely that all individuals in the universe of discourse are such sets.
Tegenwoordig wordt ZFC als de standaardvorm van de axiomatische verzamelingleer beschouwd en is als dusdanig de meest voorkomende basis van de wiskunde.ZFC heeft een enkelvoudige ontologische basis, namelijk die van een erfelijke, goed gedefinieerde verzameling, en een enkelvoudige ontologische vooronderstelling, namelijk dat alle entiteiten in het universum van discussie zo’n verzamelingen zijn.

In axiomatic set theory, the existence of singletons is a consequence of the axiom of pairing: for any set A, the axiom applied to A and A asserts the existence of {A, A}, which is the same as the singleton {A} (since it contains A, and no other set, as an element).
In de axiomatische verzamelingentheorie is het bestaan van singletons een gevolg van de axioma's van de lege verzameling en het paringsaxioma (voor elke A en B bestaat {A, B}): het eerste geeft de lege verzameling ∅ en de tweede, toegepast op het paar ∅ en ∅, de singleton {∅}.